Zformulujte a dokažte Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaci [7 bodů]
Definujte pojem bilineární forma [1 bod]
Určete matici projekcí na všechny přímky ve směrech vlastních vektorů matice [6 bodů]
A=(2000−34043)A = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & -3 & 4 \\0 & 4 & 3 \\\end{pmatrix}A=2000−34043
Pro polynom p(x)=(x−1)np(x) = (x-1)^np(x)=(x−1)n
najděte matici společnici CpC_pCp [2 body]
najděte Jordanův normální tvar CpC_pCp [2 body]
najděte všechny vlastní vektory CpC_pCp
Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
Matice projekce na přímku span(u)\text{span}(u)span(u), kde u∈Rn,∣∣u∣∣2=1u \in \mathbb{R}^n, ||u||_2 = 1u∈Rn,∣∣u∣∣2=1, je rovna uuTuu^TuuT.
Jsou-li matice A,BA, BA,B podobné, pak rank(A)=rank(B)\text{rank}(A) = \text{rank}(B)rank(A)=rank(B).
Každou positivně definitní matici AAA lze rozložit A=LLTA = LL^TA=LLT, kde LLL je dolní trojúhelníková matice se zápornou diagonálou.
Pro každou regulární matici AAA platí det(AATA−1)=1\det(AA^TA^{-1}) = 1det(AATA−1)=1
